Kompetensi Dasar

Memahami konsep matriks sebagai representasi numerik.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Menjelaskan kembali konsep matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, dan determinan matriks.

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat :

  1. Menemukan konsep matriks
  2. Membedakan jenis matriks
  3. Mengetahui transpose matriks
  4. Memahami determinan matriks

Pengertian Matriks

Menurut sumber wikipedia, pengertian matriks dijabarkan sebagai berikut:

Matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.

Matriks ditulis sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ...& a_{13}\\
a_{21} & a_{22} &  ...& a_{23}\\
... & ... & ... & ...\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}
\end{pmatrix}$

Dari bentuk penulisan matriks diatas, ada beberapa hal yang pelu Anda ketahui, diantaranya:

  1. Matriks menggunakan kurung siku  [  ]atau kurung biasa (  ) atau ║║.
  2. Nama matriks menggunakan huruf kapital
  3. "m" menyatakan baris dan "n" menyatakan kolom. misalnya a12 artinya baris pertama kolom kedua. 

Sebuah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama $(m=n)$ , dinamakan sebagai matrik persegi, misalnya:


$B=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3& 4\\
3 & 4 & 6& 7\\
8 & 7 & 9& 5\\
5 & 5 & 3& 1
\end{pmatrix}\rightarrow B_{4x4}$

Banyaknya baris dan kolom pada sebuah matriks disebut dengan ordo.

Ordo Matriks

Ordo pada matriks akan menjelaskan kepada Anda mengenai berapa banyak baris dan kolom yang ada pada matriks. Penulisan ordo seperti contoh matrik B diatas, juga pada contoh berikut beberapa penulisan ordo dalam sebuah matriks:

$D=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1& 1\\
4 & 4 & 7& 7\\
4 & 4 & 3& 3\\
0 & 0 & 0& 1
\end{pmatrix}\rightarrow D_{4x4}$, artinya matrik D mempunyai ordo 4x4.

 $E=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}\rightarrow E_{1x3}$, artinya matrik E mempunyai ordo 1x3.

$H=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
2 & 4\\
2 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix}\rightarrow H_{4x2}$, artinya matrik H mempunyai ordo 4x2.

$H=\begin{pmatrix}
6\\
8
\end{pmatrix}\rightarrow H_{2x1}$, artinya matrik D mempunyai ordo 2x1.

Jenis-jenis Matriks

Matriks juga tidak hanya dikenal dengan satu jenis, ada beberapa jenis matriks berdasarkan pada jumlah baris, jumlah kolom, atau pola penyusun. Berikut ini jenis-jenis matriks, diantaranya:

1. Matriks Baris dan Kolom

Matriks Baris adalah sebuah matriks yang hanya memiliki satu baris. Sedangkan Matriks Kolom adalah sebuah matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Berikut contohnya:

Contoh Matriks Baris
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
23 & -10 & 11 & 10 & 3
\end{pmatrix}$

Contoh Matriks Kolom
$\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
3\\
4\\
2\\
5
\end{pmatrix}$

2. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah sebuah matriks yang mempunyai jumlah yang sama antara baris dan kolom. sebagai berikut contoh matriks persegi:

$\begin{pmatrix}
2 &2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 7 & 9\\
4 & 6 & 1\\
5 & 8& 0
\end{pmatrix}$

3. Matriks Segitiga

Matriks Segitiga adalah sebuah matrik persegi yang berada diatas atau dibawah garis diagonal utama nol. Sehingga dari pengertian diatas dibagi jadi 2 yaitu matrik segitiga atas dan matrik sgitiga bawah. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh berikut :

Matriks Segitiga Atas
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
0&  1& 1\\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}$

Matris Segitiga Bawah
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3 & 2 & 0\\
5 & 6 & 7
\end{pmatrix}$

 

4. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah sebuah matrik persegi yang mana selain garis diagonal utama bernilai nol. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh matriks diagonal dibawah ini:

$\begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 4
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 &  0& 0\\
0 &  5& 0\\
0 &  0& 9
\end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks skalar adalah sebuah matrik diagonal yang memiliki bilangan atau elemen yang sama pada garis diagonal utama. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh matriks skalar dibawah ini:

$\begin{pmatrix}
5 & 0\\
0 & 5
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
7 &  0& 0\\
0 &  7& 0\\
0 &  0& 7
\end{pmatrix}$

6. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah sebuah matriks persegi yang bilangan atau elemen pada diagonal utamanya 1 dan bilanganatau elemen lainnya bernilai nol. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh matriks identitas dibawah ini:

$\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 &  0& 0\\
0 &  1& 0\\
0 &  0& 1
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 &  1& 0 & 0\\
0 &  0&  1& 0\\
0 &  0& 0 & 1
\end{pmatrix}$

7. Matriks Simetris

Matriks simetris adalah sebuah matriks persegi yang mana bilangan atau elemen diatas garis diagonal utama tercermin kebawah diagonal utama dan garis diagonal utama menjadi garis simetris. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh matriks simetris dibawah ini:

$\begin{pmatrix}
1 &  2& 4\\
2 &  5& 3\\
4 &  3& 8
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6 & 7\\
3 &  5& 3 & 5\\
6 &  3&  7& 4\\
7 &  5& 4 & 9
\end{pmatrix}$ 

Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi Penjumlahan dan pengurangan pada matriks bisa terjadi jika matriks-matriks yang akan dijumlahkan atau dikurangkan memiliki ordo yang sama.

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan pada matriks yaitu:

  1. $A+B=B+A$
  2. $\left (A+B \right )+C=A+\left (B+C \right)$
  3. $A-B\neq B-A$
 

Perkalian

Operasi perkalian antar bilangan bulat maupun antar matriks bisa terjadi tidak perlu memiliki ordo yang sama, hanya saja untuk perkalian dua matrik bisa dilakukan apabila jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Untuk lebih jelasnya perhatikan dibawah ini:

$A=\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f
\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}
p\\
q\\
r
\end{pmatrix}$

$2.A=2\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2a &  2b& 2c\\
2d &  2e& 2f
\end{pmatrix}$

$A.B=\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p\\
q\\
r
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ap+bq+cr\\
dp+ef+fr
\end{pmatrix}$

$A_{m.n}.B_{n.q}=C_{m.q}$
 

Sifat-Sifat Operasi Matriks yang perlu anda ketahui, diantarnya:

  1. $A.B\neq B.A$
  2. $k\left ( AB \right )=\left ( kA \right )B$
  3. $ABC=\left ( AB \right )C=A\left ( BC \right )$
  4. $A\left ( B+C \right )=AB+AC$
  5. $\left ( A+B \right )C=AC+BC$
 

Contoh Soal 1

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
4 & 5\\
3 & 1
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
3 &  2& 5\\
4 &  3& 1
\end{pmatrix}$, Tentukan nilai $A+B$, $A-B$, $4A$, dan $AC$ ?

Pembahasan

Diketahui: $A=\begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}$

                $B=\begin{pmatrix}
4 & 5\\
3 & 1
\end{pmatrix}$

                $C=\begin{pmatrix}
3 &  2& 5\\
4 &  3& 1
\end{pmatrix}$

Ditanya: $A+B$, $A-B$, $4A$ dan $AC$?

Jawab:

 $A+B$

$A+B\rightarrow \begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4 & 5\\
3 & 1
\end{pmatrix}$

        $\rightarrow \begin{pmatrix}
3+4 & 1+5\\
2+3 & 4+1
\end{pmatrix}$

        $\rightarrow \begin{pmatrix}
7 & 6\\
5 & 5
\end{pmatrix}$ 

$A-B$

$A-B\rightarrow \begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
4 & 5\\
3 & 1
\end{pmatrix}$

        $\rightarrow \begin{pmatrix}
3-4 & 1-5\\
2-3 & 4-1
\end{pmatrix}$

        $\rightarrow \begin{pmatrix}
-1 & -4\\
-1 & 3
\end{pmatrix}$ 

$4A$

$4A\rightarrow 4\begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}$


     $\rightarrow \begin{pmatrix}
4.3 & 4.1\\
4.2 & 4.4
\end{pmatrix}$


      $\rightarrow \begin{pmatrix}
12 & 4\\
8 & 16
\end{pmatrix}$

 

$AC$

$AC\rightarrow \begin{pmatrix}
3 & 1\\
2 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 &  2& 5\\
4 &  3& 1
\end{pmatrix}$

       $\rightarrow \begin{pmatrix}
\left (3.3+1.4  \right ) &  \left (3.2+1.3  \right )& \left (3.5+1.1  \right )\\
\left (2.3+4.4  \right ) &  \left (2.2+4.3  \right )& \left (2.5+4.1  \right )
\end{pmatrix}$

    $\rightarrow \begin{pmatrix}
13 &  9& 16\\
22 &  16& 14
\end{pmatrix}$

 

Contoh Soal 2

Jika $\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
3-2a
\end{pmatrix}$, maka tentukanlah nilai a?

Pembahasan

Diketahui: $\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
3-2a
\end{pmatrix}$

Ditanya: a?

Jawab

$\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
3-2a
\end{pmatrix}$

$\rightarrow \begin{pmatrix}
a.1+0.2\\
0.1+b.2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
3-2a
\end{pmatrix}$


$\rightarrow \begin{pmatrix}
a\\
2b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
3-2a
\end{pmatrix}$

$a=b$...(1)

$2b=3-2a$....(2)

Dari dua persamaan itu, kemudian kita substitusikan (1) ke (2), maka didapat

$a=b\rightarrow 2b=3-2a$

$\rightarrow 2a=3-2a$

$\rightarrow 4a=3$

$\rightarrow a=\frac{3}{4}$

Jadi nilai $a=\frac{3}{4}$

Hal-hal yang perlu diketahui

Ada beberapa hal yang harus Anda ketahui untuk membantu Anda dalam menyelesaiakan soal matriks, diantaranya:
  1. $A.I=I.A=A$, dengan I adalah matrik identitas
  2. $A.A^{-1}=A^{-1}.A=1$
  3. $AB\neq BA$

Transpose Matriks

Transpose Matriks adalah matriks yang dibentuk dari sebuah matriks dengan perubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Misal: jika ada sebuah matriks $B_{pxq}$, maka transpose matriks B atau $B^{t}$ adalah $B^{t}_{qxp}$. Untuk lebih jelasnya berikut ini penerapan transpose matriks:

$A=\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f
\end{pmatrix}\rightarrow A^{t}=\begin{pmatrix}
a & d\\
b & e\\
c & f
\end{pmatrix}$

Adapun sifat unik transpose matriks adalah
$\left ( A^{t} \right )^{t}=A$

 

Contoh Soal 3

Tentukan transpose matriks dari matriks-matriks berikut ini:  $A=\begin{pmatrix}
3 & 2\\
4 & 5\\
1 & 1
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
2 & 3\\
4 & 5
\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}
1 &  4& 5\\
6 &  7& 1\\
4 &  9& 8
\end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui: $A=\begin{pmatrix}
3 & 2\\
4 & 5\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

                $B=\begin{pmatrix}
2 & 3\\
4 & 5
\end{pmatrix}$

                $C=\begin{pmatrix}
1 &  4& 5\\
6 &  7& 1\\
4 &  9& 8
\end{pmatrix}$

Ditanya:  $A^{t}$,$B^{t}$,$C^{t}$?

Jawab:

$A=\begin{pmatrix}
3 & 2\\
4 & 5\\
1 & 1
\end{pmatrix}\rightarrow A^{t}=\begin{pmatrix}
3 &  4& 1\\
2 &  5& 1
\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}
2 & 3\\
4 & 5
\end{pmatrix}\rightarrow B^{t}=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
3 & 5
\end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix}
1 &  4& 5\\
6 &  7& 1\\
4 &  9& 8
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
1 &  6& 4\\
4 &  7& 9\\
5 &  1& 8
\end{pmatrix}$

Determinan Matriks

Syarat untuk mencari deteminan matriks adalah matriksnya harus matriks persegi.

1. Untuk Matriks Berordo 2x2

$A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$

det A = $\left | A \right |=ad-bc$
 

2. Untuk Matrik Berodo 3x3

$A=\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f\\
g &  h& i
\end{pmatrix}$

Kaidah Sarrus

$A=\begin{pmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f\\
g &  h& i
\end{pmatrix}\rightarrow \text {det A}=\begin{vmatrix}
a &  b& c\\
d &  e& f\\
g &  h& i
\end{vmatrix}\begin{matrix}
a & b\\
d & e\\
g & h
\end{matrix}$

$\text {det A}=\left (a.e.i  \right ) +\left (b.f.g  \right )+\left (c.d.h  \right )-\left (g.e.c  \right )-\left (h.f.a  \right )-\left (i.d.b  \right )$
 

Metode Determinan 2x2

$A=\begin{pmatrix}
a & b& c\\
d & e& f\\
g & h& i
\end{pmatrix}\rightarrow$ 

$\text {det A}=a\begin{vmatrix}
e & f\\
h & i
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
d & f\\
g & i
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
d & e\\
g & h
\end{vmatrix}$
 

Sifat-Sifat Determinan

  1. $\left | A^{-1} \right |=\frac{1}{\left | A \right |}$
  2. $\left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |$
  3. $\left | kA \right |=k^{2}\left | A \right |$, dengan k adalah konstanta
  4. $\left | A^{t}  \right |=\left | A \right | $
 

Contoh Soal 4

Tentukan nilai determinan dari matrik-matriks berikut: $A=\begin{pmatrix}
3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}$, dan $B=\begin{pmatrix}
2 &  3& 1\\
7 &  8& 9\\
5 &  4& 6
\end{pmatrix}$.

Pembahasan

Diketahui:

$A=\begin{pmatrix}
3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}$, dengan $a=3;b=1;c=4,d=2$

$B=\begin{pmatrix}
2 &  3& 1\\
7 &  8& 9\\
5 &  4& 6
\end{pmatrix}$

Ditanya: det A dan B?

Jawab

$A=\begin{pmatrix}
3 & 1\\
4 & 2
\end{pmatrix}$

det A= $\left | A \right |=ad-bc$

            $\rightarrow =2.3-1.4$

            $\rightarrow =6-4$

            $\rightarrow =2$ 

$B=\begin{pmatrix}
2 &  3& 1\\
7 &  8& 9\\
5 &  4& 6
\end{pmatrix}$

det B=$\left |B  \right |=\begin{vmatrix}
2 &  3& 1\\
7 &  8& 9\\
5 &  4& 6
\end{vmatrix}\begin{matrix}
2 & 3\\
7 & 8\\
5 & 4
\end{matrix}$

det B=$\left |B  \right |=\left ( 2.8.6 \right )+\left ( 3.9.5 \right )+\left ( 1.7.4 \right )-\left ( 3.7.6 \right )-\left ( 2.9.4 \right )-\left ( 1.8.5 \right )$

                $\rightarrow =96+135+28-126-72-50$

                $\rightarrow =21$

Adjoin Matriks

Adjoin matriks adalah matriks yang berfungsi untuk menentukan inversnya.

$A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\rightarrow$ 

$Adj\left ( A \right )=\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$

Invers Matriks

Syaratnya: Matriks A tidak memiliki invers $\left | A \right |\neq 0$
$A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\rightarrow$ 

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}Adj\left ( A \right )=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$
 

Sifat-Sifat Invers Matriks,diantaranya:

  1. $A.A^{-1}=A^{-1}.A=I$
  2. $\left (A^{-1}  \right )^{-1}=A$
  3. $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$
  4. Jika $AX=B$, maka $X=A^{-1}.B$
  5. Jika $XA=B$, maka $X=B.A^{-1}$  

Perkalian Matriks untuk Penyelesaian Persamaan Linear

Diketahui Persamaan Linear
$ax+by=p$
$cx+dy=q$
dalam bentuk matriks
$\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
p\\q

\end{pmatrix}$
Untuk mencari nilai $x$ dan $y$ atau $\begin{pmatrix}
x\\y

\end{pmatrix}$ yaitu

$\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p\\ q

\end{pmatrix}$
dengan $ad-bc\neq 0$.

Latihan Soal

Latihan Soal 1

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
4 & 3\\
2 & 1
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
6 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix}
2 &  5& 3\\
1 &  4& 0\\
3 &  1& 2
\end{pmatrix}$,
Tentukan nilai:
a. $A+B$
b. $A-B$
c. $3B$
d. $2A+B$
e. $AB$

 

Latihan Soal 2

Jika $\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b\\
2-3a
\end{pmatrix}$, maka tentukanlah nilai a?

 

Latihan Soal 3

Tentukan transpose matriks dari matriks-matriks berikut ini: 
$A=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 7
\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}
1 &  2& 5\\
0 &  3& 7\\
4 & 1& 2
\end{pmatrix}$

 

Latihan Soal 4

Tentukan nilai determinan dari matrik-matriks berikut:
$A=\begin{pmatrix}
8 &  0& 7\\
2 &  1& 2\\
3 &  5& 1
\end{pmatrix}$, dan $B=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
9 & 3
\end{pmatrix}$.